El objetivo de esta entrada es describir el desarrollo de una clase práctica complementaria de Matemáticas con la ayuda de la hoja EXCEL, durante la cual el profesor realizará acompañado de sus alumnos la representación gráfica de una función, así como el cálculo aproximado de los valores de las derivadas e integrales. A lo largo de esta explicación, intentaré dar ideas con las que el docente podría trabajar todos estos conceptos con los estudiantes durante el desarrollo de la clase.
Ilustraré las explicaciones con el desarrollo de un ejemplo completo, para el que utilizaré la función f(x) = x3- x.
La duración completa de la sesión sería de aproximadamente una hora, y lo ideal, sería que se pudiera desarrollar en el aula informática del centro.
Para poder impartir la clase, el profesor debe tener unos conocimientos previos mínimos del uso de EXCEL, o de cualquier tipo de hoja de cálculo similar (es suficiente con conocer como funciona la entrada de datos, la introducción de fórmulas y el uso de la herramienta de creación de gráficos).
A continuación realizo una explicación, parte por parte, de como podría ser el desarrollo de esta sesión:
1ª PARTE: Enseñanza de los conceptos básicos para manejar la hoja de cálculo.
Para el desarrollo de la clase, es suficiente con transmitir inicialmente a los alumnos tres conceptos:
1) Cómo introducir valores numéricos en celdas.
2) Cómo introducir "fórmulas" en celdas (mediante el comando "="). Podrían realizarse varias pruebas con los estudiantes, con fórmulas de varios tipos (con exponentes, con logaritmos, con raíces...), incidiendo en la importancia de la introducción de los paréntesis para la correcta realización de los cálculos.
3) Cómo realizar el cálculo de una misma fórmula en varias celdas para distintos valores, simplemente pinchando y deslizando "hacia abajo".
2ª PARTE: Cálculo de los valores de una función matemática.
En este momento de la práctica, sería posible iniciar ya la explicación de cómo calcular para múltiples valores de "x" la función matemática que se haya elegido para desarrollar el ejercicio.
En primer lugar, es necesario previamente generar los valores de "x" para los cuales vamos a calcular la función, que se situarán en la primera columna. Estos valores se obtendrán introduciendo un valor inicial en la celda A2, para posteriormente calcular un valor adicional en la celda A3 mediante la suma del "incremento de x" con el que vayamos a realizar el ejercicio. Posteriormente, podrá generarse la serie de valores simplemente deslizando la fórmula de la celda A3 hacia abajo, hasta el valor que se considere suficiente para la explicación (para la realización del ejemplo con la función f(x) = x3- x, se sugiere generar un rango de valores entre -3 y 3, con un incremento de 0,1).
En la segunda columna, se obtendrán los valores de f(x) calculados para la función con la que se desee trabajar durante la clase. Es suficiente con introducir en la celda B2 la fórmula de la función a calcular, y posteriormente, deslizar hacia abajo hasta la fila del último valor de x.
A continuación, se muestra el aspecto de la pantalla del ordenador, una vez llegados a este punto de la explicación. En este momento de la clase, se puede animar a los estudiantes a que analicen los valores obtenidos (en el caso de la función x3- x, por ejemplo, observando el rápido crecimiento de la función a medida que incrementa x) , o a que localicen las raíces, máximos y mínimos relativos...
3ª PARTE: Representación gráfica de la función
Para obtener la representación gráfica de la función, se acudirá al menú "Insertar">"Gráfico". Se seleccíonarán como seríes de valores las columnas de "x" y "f(x)":
4ª PARTE: Cálculo aproximado de la derivada de la función
Previamente a la realización de este cálculo, sería conveniente recordar a los alumnos la definición matemática de derivada, para a continuación explicar a los estudiantes que es posible calcular de forma aproximada este valor mediante el cociente en cada punto de un cierto incremento de f(x) y el incremento de x asociado. Es importante resaltar en este momento de la explicación que la precisión del cálculo, aumentará cuanto más pequeño sea el incremento de x utilizado:
La realización de este cálculo en la hoja, es tan sencillo como introducir la fórmula "=(B3-B2)/(A3-A2) en la celda C3, y luego "arrastrar" hacia abajo. Acerca de los valores obtenidos, podría comentarse con los estudiantes el signo (zonas de pendientes positivas y pendientes negativas), o tendencia a cero de los valores en zonas próximas a máximos y mínimos:
Por otra parte, puede ser interesante proponer a los estudiantes que calculen los valores de la función f´(x) = 3x2-1, en la columna D, y comparen los valores en cada punto con los obtenidos de forma aproximada. Puede invitarse a los alumnos a generar de nuevo la columna de las x, con un incremento de 0.01, de forma que observarán como los valores de la columna C, "tenderán" a ser los de la columna D, de manera que de forma intuitiva, adquirirán una mejor comprensión de la definición matemática de la derivada.
5ª PARTE: Cálculo aproximado de la integral de una función
En este momento, sería preciso recordar a los alumnos la definición matemática "exacta" de integral, para posteriormente, explicarles que es posible aproximar el cálculo del área bajo una curva mediante una suma de rectángulos de altura f(x), y ancho, un cierto incremento de x. De nuevo, el cálculo será más preciso cuanto menor sea el incremento de x con el que se discretice el área:
Para el caso de nuestro ejemplo, podría proponerse a los estudiantes el cálculo aproximado del área comprendida entre el eje x, y la gráfica de la función entre los puntos x=0 y x=1. Para ello, deberá introducirse en la celda D33 la fórmula "=abs((A33-A32)*B33), y a continuación, arrastrarla hasta la fila 42 (la correspondiente a x=1).
Posteriormente, puede calcularse la integral en la celda D43, introduciendo la fórmula "=SUMA(D33:D42)":
Como para el caso de la derivada, puede animarse a los estudiantes a calcular de forma exacta el valor de la integral, para a continuación, compararla con el resultado obtenido con el cálculo aproximado y evaluar la magnitud del error. Adicionalmente, es posible comprobar como disminuyendo el tamaño del incremento de x utilizado en la hoja de cálculo, se aumenta la precisión del área obtenida con este método.
Conclusiones
Con la realización de esta clase práctica, el profesor habrá transmitido a sus alumnos los conocimientos básicos del manejo de una hoja de cálculo, al mismo tiempo que habrá podido repasar numerosos conceptos matemáticos relacionados con representación gráfica de funciones y cálculo de derivadas e integrales.
En este enlace, adjunto el fichero EXCEL con el desarrollo del ejemplo completo:
